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很多人,包括很多搞数学的人,都说数学的基础是公理。平面几何的基础是欧几里德的公理,定义自然数的是皮亚诺的五条公理,而现代数学的基础则是策梅洛-弗兰克公理体系加上选择公理,起码很多人是这样说的。

但这种说法对么?

打个比方,要建一幢大楼,先要由设计师绘画这幢大楼的设计图,注明每一根柱子每一个窗户的大小位置和材料,然后由建筑工人一梁一柱慢慢建立起来,最后由装修工人完成装修。当大楼建好之后,我们能说大楼的基础就是设计图吗?

对,也不对。的确,没有设计图建不起大楼,但要建一座教学楼,很多设计图其实都能用。设计图告诉我们楼应该怎么建,但我们是根据要建什么楼来选择设计图,而不是随便抓一张设计图,就说我们需要的就是这幢楼。

数学也是如此。

图片来自pixabay

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我们建立公理体系,不是因为某个公理天然就是对的,而是因为我们需要用公理去刻画某些东西。我们要研究自然数,我们觉得自然数应该拥有某些性质,所以我们将这些性质以逻辑的语言化为一个个命题,从中抽取那些我们认为刻画了最本质特点的那些命题,将它们作为公理。

先有我们要研究的东西,再有公理。而不是先有公理,再研究它的延伸。没有天然正确的公理,只有适合研究某个东西的公理。毕竟,我们研究数学,是研究抽象结构之间的关系,这些结构很多都从实际生活中抽象而来,或者是因应数学研究的需要而发展出来。我们研究的是这些结构本身,而公理只是我们刻画这些结构的一种手段。如果反过来,认为公理才是对的,这反而是倒果为因,被单一的系统蒙蔽了双眼。

是的,数学可以有很多种。公理只是我们刻画数学结构的方法,理解了这一点之后,你看到的数学世界会变得更宽广。不同的公理体系可以存在,只是它们刻画的东西不一定相同。同一个东西,可以用不同的公理体系来刻画。要推广某个数学概念,只要稍稍放松刻画它的公理体系,就可以了。公理体系并不是什么不可动摇的基础,而是我们编织数学诗篇时写下的提纲,根据这个提纲,故事会根据逻辑自行发展,最终通过人的逻辑思维,导出公理体系指向的图景。

公理体系并非不可动摇,所以我们当然可以选择采用什么公理体系。对于数学家来说,只要公理体系足以刻画他们研究的数学对象,那就足够了,采用哪一个其实无所谓。我们说平面几何就是欧几里德的公理,其实把一些公理换成等价的命题也未尝不可,只是因为我们习惯了欧几里德的提法。我们说定义自然数的是皮亚诺公理,同样因为是皮亚诺第一个正确用公理刻画了自然数,那就这样用了。至于现代数学的基础为什么选取了策梅洛-弗兰克公理体系加上选择公理,纯粹是因为这套公理足以让大部分数学家能完成他们的工作,能在这套公理内表达他们研究的数学,所以就这样了。

这就是数学研究的运作方式。选择公理的历史很好地说明了这一点。一开始,巴拿赫和塔斯基证明了,如果承认选择公理的话,就可以将一个球切成几块非常奇怪的形状(实际上是一堆很勉强才说得上连起来的点),然后重新拼合,得到两个跟原来一模一样的球。这又叫巴拿赫-塔斯基分球定理。但后来人们发现,如果不承认选择公理,得到的结论会更奇怪,比如一个空间可以有两个维度之类的,而且有很多之前的数学,不承认选择公理的话根本表达不出来。所以人们还是接受了选择公理。至于分球定理,实际上因为切成的形状太奇怪,根本不能定义它的容积,所以现代数学家并不认为这是什么大问题。

图片来自Wikipedia

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你可能会觉得,选择公理既然引起过这么大的争议,它一定是个很复杂很麻烦的公理吧?但其实它非常简单,无非就是说,一堆非空集合,必定可以各自选出一个凑在一起,组成一个集合。仅此而已。但即使是这样“明显”的公理,数学家也要争论一番,正是因为他们一开始不清楚,自己所做的数学是否被这个公理刻画。

再说现代数学的基础。实际上除了策梅洛-弗兰克公理体系之外,还有几个不同的公理体系,它们定义的东西有着确实的差异。但对于大部分数学家来说,他们研究的数学无论建基在哪个公理体系上都可以,所以很多数学家并不关心逻辑根基到底是什么,他们只需要知道有一个稳固的根基,那就可以了。

荃者所以在鱼,得鱼而忘荃;蹄者所以在兔,得兔而忘蹄;言者所以在意,得意而忘言。

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4 Responses to “数学界到底是如何确认公理的?”

  1. sd说道:

    可惜, 小时候光是学了一大堆公理, 定理, 从来没听过背后的解释, 完全不理解其中的道理

  2. wanghorange说道:

    把公理看做是真理的映射。

  3. 胡姬花说道:

    数学产生于实际问题,而不是产生于公理。很多人没意识到这点

  4. 匿名说道:

    希望人类精英的直觉直指真理。

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